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中学生数学

中3数学二次方程式

2016/09/06


新潟市の個人契約家庭教師sacaueです。

中3生の皆さんは9月頃になると二次方程式を習います。
いろいろなパターンがあって訳が分からないという生徒さんもいらっしゃいますので、それぞれの解き方といつどれを使えば良いのかを解説します。

二次方程式の解法は大きく分けて3種類あります。

二次方程式の解き方のまとめ

平方根

\(x^2=4\)
を考えます。これはある数\(x\)を2乗したら4になったということですね。
ここで平方根の定義を思い出してみましょう。
平方根とは「2乗するとその数になる数」です。
例えば、4の平方根は二乗すると4になる数なので\(\pm2\)ですね。

それでこのような問題は平方根の考え方で
ある数\(x\)を2乗したら4になる→2乗すると4になる数→4の平方根を出せば良い。
よって
\(x=\pm2\)
になります。ちなみに\(x^2=5\)のような問題は同じ考え方で\(x=\pm\sqrt{5}\)になります。

因数分解を使う

$$x^2+5x+6=0$$
を考えます。因数分解すると
\((x+2)(x+3)=0\)
になります。これはつまり
\((x+2)×(x+3)=0\)ということです。

ここで問題です。
\(□×3=0\)になりました。\(5×□=0\)になりました。□に当てはまる数は?
そう0ですね。
つまり乗法(掛け算)の答えが0になるということは、どちらかが0ということです。

これを\((x+2)×(x+3)=0\)に当てはめて考えましょう。

\(x+2\)と\(x+3\)のどちらかが0になるということですね。

よって\(x+2)=0、(x+3)=0\)を解き、答えは
\(x=-2,-3\)
になります。
「符号を逆にすればいい」と覚えている生徒さんも多いですが、この理論をしっかり覚えたほうがいろいろな問題に確実に対応できます。

解の公式

最後は解の公式です。
公式は
\(ax^2+bx+c=0\)の時、
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$
です。

これはとにかく暗記です。

問題例
\(2x^2-7x+4=0\)
a=2
b=-7
c=4
ですので(面倒でもミスを防ぐため必ずこれは書きましょう)、公式に当てはめて

$$x = {-(-6) \pm \sqrt{(-7)^2-4×2×4} \over 2×2}$$
よってこたえは
$$x={6\pm\sqrt{17}\over4}$$
になります。

いつどれを使えば良いのか?

さて、ここからが重要です。
家庭教師の指導でよく質問されるのが、いつどれを使えば良いのか?です。

答えは「どれでも良い」です。

はぁ?と思わず最後までお付き合いください。上の3つの解法はそれぞれ面倒さ、使える度に差があります。

面倒さからすると
簡単→面倒の順に
平方根→因数分解→解の公式になります。

使える度からすると、
いつでも使える→限定で使えるの順に
解の公式→因数分解→平方根になります。

例えば
\(x^2=4\)
この問題、すぐに平方根で解くと思いますが、実は解の公式でも出来ます。
\(x^2-4=0\)に直し、
\(a=1,b=0,c=-4\)
なので、
$$x={0\pm\sqrt{0^2-4×1×(-4)}\over2×1}$$
これを解くと
\(x=\pm2\)
になります。解の公式で解けない二次方程式はないんです。時間はかかりますけど…

つまり、使えるのであれば平方根→無理なら因数分解→それでも無理なら解の公式の順で考えるとスムーズに解けると思います。

新潟県の公立高校でも大問1に必ずと言っていいほど出題される範囲ですので頑張って攻略してくださいね。

新潟市の個人家庭教師sacaueでした。

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