式と方程式を間違えないように

2016年6月28日2016年9月6日

[mathjax]
こんにちは。新潟市の個人契約専門家庭教師の坂上です。

今日は、家庭教師をしていてミスが多いと感じる「式と方程式の違い」を解説したいと思います。

新潟県の公立高校入試でも、数学大問1で大抵この2種類の問題が出ます。

2問間違えばマイナス6点、2問正解だとプラス6点ですから見過ごせない問題ですね。是非大問1対策として参考にして下さい。

式と方程式の違い

次の例を見てください。

$$①\ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}$$
$$②\ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$$

この２つの違いが分かるでしょうか？
そう、①は式、②は方程式なんです。
計算方法にどんな違いが出るのでしょうか？

式は勝手に好きな数を掛けたり割ったりしてはいけない

「式」とは小学生1年生の頃からずっと習ってきた、あの「式」です。
自分でイコールを付け、
=…
=…
=答え
といように計算していくものです。
イメージとしては$5+3$とか$2×4$のような計算です。
考えてみてください。2×4をするのに、なんとなく10を掛けてみたいからという理由で2×4×10をする人がいるでしょうか？

それと同じで①の「式」は、分数を消したくても勝手に×6をしてはいけません。

式の場合、分数の足し算・引き算（加法・減法）は必ず通分します。

ではなぜ通分ならしても良いのでしょうか？なぜなら通分は、例えば分母に3をかけたら分子にも3をかけるので、結果$\frac{3}{3}$つまり1をかけているのと同じになるからです。

それで①の計算はこうなります。
$$①\ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{x}{2}×\frac{3}{3}\ +\ \frac{x}{3}×\frac{2}{2}\ =\ \frac{3}{6}x+\frac{2}{6}x=\ \frac{5}{6}x$$になります。

少し式が見づらくてすみません。

方程式は両辺に同じことをすれば何をしても良い

次に方程式を考えましょう。
「方程式」とは式と違い、真ん中に=があることが大きく異なります。
… = …
… = …
… = …
x=答え
のような形になります。
「方程式」の大原則は「両辺に同じことをすれば何をしても良い」です。
ですから、方程式の分数の計算は、すべての分母を消せる数を掛けて分数じゃない式にすることを覚えておきましょう。

②の解き方
$$②\ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5→両辺に6をかける$$
$$\ \frac{x}{2}×6+\frac{x}{3}×6=5×6$$
$$\ \ \ 3x\ +\ 2x\ =\ 30$$
$$\ \ \ 5x\ =\ 30$$
$$\ \ \ \ x\ =\ 6$$